Suorakaide ja ympyrä kolmiossa

Olkoon annettu kolmio, jonka kantakulmat ovat terävät. Kolmion sisälle on asetettava akselien suuntainen suorakaide, jonka yläpuolelle (ja myös kolmion sisälle) ympyrä. Tehtävänä on maksimoida suorakaiteen ja ympyrän alojen summa.

Asetetaan kolmio koordinaatistoon seuraavalla tavalla ja tehdään kuvassa olevat merkinnät.

Merkitään lisäksi kolmion kannan $OB$ pituutta $b$ :llä ja sivujen pituuksia $OA = s_1, AB = s_2$ sekä kolmion piiriä $p = b+s_1+s_2$ . Merkitään vielä kärjen $A$ x-koordinaattia $a$ :lla (sen y-koordinaattihan on korkeus $h$ ).

Ratkaistaan suorakaiteen x-rajat $x_1$ ja $x_2$ . Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan

$\frac{x_1}{y} = \frac{a}{h}$ ja $\frac{b-x_2}{y} = \frac{b-a}{h}$

Näin ollen suorakulmion vaakasivu on $x_2-x_1 = b(1-\frac{y}{h})$ .

Ratkaistaan sitten ympyrän säde. Maksimitapauksessahan ympyrä on alkuperäisen kolmion sivujen ja suorakaiteen yläsivun rajoittaman kolmion $K_y$ , sisään piirretty ympyrä, joten käytetään sille löytyvää kaavaa

$r^2 = \frac{(s-a_1)(s-b_1)(s-c_1)}{s}$ ,

missä $s$ on $K_y$ :n piirin puolikas ja $a_1, b_1, c_1$ sen sivut. Yksi sivu on suorakaiteen vaakasivu ja toiset saadaan alkuperäisen kolmion sivuista kertomalla suhdeluvulla $\frac{h-y}{h}$ (käytetään taas yhdenmuotoisia kolmioita). Jokaisessa termissä on siis kertoimena tämä suhdeluku. Nimittäjään jää sen neliö. Siis

$r^2 = \frac{(p/2-s_1)(p/2-s_2)(p/2-b)(1-y/h)^2}{p/2}$

$= \frac{p/2(p/2-s_1)(p/2-s_2)(p/2-b)1/h^2(h-y)^2}{(p/2)^2}$

Toisaalta Heronin kaavan mukaan kolmion ala on $\sqrt{\frac{p}{2} (\frac{p}{2}-s_1)(\frac{p}{2}-s_2)(\frac{p}{2}-b)}$ , joten saamme

$r^2 = \frac{b^2}{p^2} (h-y)^2$

Näin saamme suorakaiteen ja ympyrän yhteiselle alalle funktion

$f(y) = b(1-\frac{y}{h})y + \pi \frac{b^2}{p^2} (h-y)^2$

Toisen asteen kerroin on $\frac{\pi b^2}{p^2} - \frac{b}{h} <0$ , (ks. Tehtävä 1). Näin ollen paraabeli $f$ on alaspäin aukeava. Derivaatan nollakohdasta löydämme maksimikohdan

$y_{max} = \frac{h}{2} \left( 1- \frac{\pi bh}{p^2-\pi bh} \right)$ .

Tehtäviä

Osoita, että kolmiolle, jonka kanta on $b$ , korkeus $h$ ja piiri $p$ pätee $\pi \frac{b^2}{p^2} < \frac{b}{h}$ .
Osoita että edellä vasen puoli voidaan vielä kertoa 2:lla ja epäyhtälö säilyy. Kenties vielä kolmella… Mikä on suurin luku, jolla epäyhtälö vielä on voimassa?

Kaksi karsinaa

Kaikkihan tietävät, että ympyrä on paras muoto kun halutaan aidata tietyn suuruinen ala käyttäen mahdollisimman vähän aitaa (ks. isoperimetrinen epäyhtälö). Mutta entäpä, jos onkin tehtävä kaksi karsinaa, jotka voivat käyttää yhteistä aitaa? Entä yleisemmin $n$ karsinaa?

Oletetaan että yhden karsinan ala on $A = 1$ ja yritetään löytää mahdollisimman pieni piirinen aitaus.

Ensimmäinen vaihtoehto, joka tulee mieleen on kaiketi ”tavallinen” suorakaiteen mallinen, jossa on yksi väliaita:

Optimoidaan piiri ja saadaan $x = \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.866$ ja $p=2\sqrt{3} + \frac{6}{\sqrt 3} = 6.9282$ .

Mutta onko tämä paras mahdollinen? Koska ympyrä on paras ratkaisu yhdelle karsinalle, niin kokeillaanpa jakaa ympyrä kahtia:

Saadaan $r = \sqrt{\frac{2}{\pi}}$ ja $p = 2\pi r + 2r = 2(\pi+1) \sqrt{\frac{2}{\pi}} = 6.609$ . Siis parempi kuin suorakaide-ratkaisu.

Mutta entäpä jos yhdistettäisiin hieman kumpaakin: laitetaan keskelle suorakaide ja päihin puoliympyrät (ja tietenkin keskelle jakoaita) ja optimoidaan tämä muoto:

Optimiksi saadaan $r = \sqrt{\frac{2}{2+\pi}}=0.6237$ ja $p=2\sqrt{4+2\pi}=6.413$ . Löydettiin siis halkaistua ympyrääkin parempi ratkaisu.

Toinen tapa yrittää käyttää ympyrää olisi ollut tehdä kaksi täysin erillistä ympyräkarsinaa. Tällöin yhdellä on pienempi säde ( $r=\sqrt{\frac{1}{\pi}}$ ) mutta piiri on $p = 2\times 2\pi r = 4\sqrt \pi = 7.089 > 7$ ja $p=7$ saadaan jo siitä (optimoimattomasta) ratkaisusta, että laitetaan kaksi neliötä vierekkäin.

Olemme tähän asti ajatelleet, että aitauksen kuuluisi olla konveksi (~~tietenkin kummankin karsinan pitää olla konveksi~~, mutta että koko rakennelman?!?!?). Eihän sen täydykään: otetaan vain kaksi sopivan kokoista ympyrää ja läimäytetään ne yhteen. Ei keskikohdasta, vaan optimoidaan tämä kohta.

Tämä onkin niinsanottu tuplakupla ratkaisu ja myös todistetusti (tai itseasiassa 2d-versio on tämä) ongelman optimi ratkaisu, joten optimi on $p = 6.3591$ .

Huomioita

Jos karsinat eivät olisikaan samankokoiset, niin tuplakupla ratkaisussa jakoaita ei olekaan jana, vaan ympyrän kaari (ks. tuplakuplan määritelmä), joten karsinatkaan eivät välttämättä ole konvekseja. Jakokaari määräytyy siitä, että kaarien täytyy kohdata toisensa 120 asteen kulmassa eli niiden tangentit jakavat täysikulman kolmeen yhtäsuureen osaan.
Tarkka ratkaisu, joka tästä 120 asteen vaatimuksesta nähdään on $\alpha = \frac{\pi}{3}$ , $r = \frac{1}{\sqrt{\frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt 3}{4}}}$ ja $p=\frac{\frac{8\pi}{3} +\sqrt 3}{ \sqrt { \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt 3}{4} }}$

Suorakaiteen neliöiminen

Suorakaide halutaan täyttää päälekkäinmenemättömillä neliöillä. Oletetaan, että suorakaiteen sivujen pituudet ja myös neliöiden sivut ovat positiivisia kokonaislukuja. (Jos ne ovat rationaalilukuja, niin voimme skaalata kaikkien nimittäjien pienimmällä yhteisellä jaettavalla, jolloin päästään kokonaislukutilanteeseen.)

Tämä ”neliöinti” on tietenkin helppoa, kun lähdetään vain erottamaan (esim. mahdollisimman suuria) neliöitä (lopulta voidaan aina jakaa 1×1-neliöihin). Neliöinnissä saattaa tapahtua niin, että se koostuu kahdesta osasta eli suorakaide voidaan jakaa joko pysty- tai vaakaviivalla kahteen suorakaiteeseen siten, että ei kuljeta minkään neliön läpi. Toisin sanottuna neliöiden sivut ovat jossain kohtaa kaikki ”linjassa” koko suorakaiteen matkalta. Kutsutaan tällaisia neliöintejä jaettavissa oleviksi. Jos neliöinti ei ole jaettavissa oleva, on se jaoton. Jokainen neliöinti voidaan muodostaa jaottomista neliöinneistä niitä yhdistelemällä.

Jaettavissa oleva neliöinti (vasemmalla) voidaan jakaa keltaisen viivan kohdalta. Jaottomassa neliöinnistä (oikealla) tällaista jakokohtaa ei löydy.

Toisaalta erityisen kiinnostavia olisi myös sellaiset neliöinnit, joissa jokainen käytetty neliö on erikokoinen. Näitä kutsutaan täydellisiksi. Myös täydellinen neliöinti voi olla jaettavissa oleva, mutta tällöin sen osissa käytettyjen neliöiden täytyy tietenkin olla myös erikokoisia, joten mitä tahansa kahta täydellistä neliöintiä ei voi yhdistää täydelliseksi neliöinniksi.

Entistä rajaavampi oletus neliöinnille on ns. ”yksinkertaisuus”: neliöinti ei pidä sisällään mitään aidosti pienempää neliöintiä eli toisin sanottuna neliöt eivät muodosta sisälle pienempää vähintään kaksi neliötä sisältävää suorakaidetta. Jos neliöinti ei ole yksinkertainen, sen sanotaan olevan yhdistetty. Kuvan 1 molemmat esimerkit ovat yhdistettyjä (oikean puoleisesta löytyy monta sisä-suorakaidetta vaikkei koko suorakaiteen halkaisevaa viivaa löydykään). Sen sijaan kuvan 2 (ks. alla) neliöinti on yksinkertainen.

Yhteys tasoverkkoihin

Olkoon $S$ neliöinti. Merkitään siinä olevien vaakasuorien janojen joukkoa $V$ . Verkon kaaret vastaavat neliöinnin neliöitä (neliö yhdistää janat, joille sen vastakkaiset sivut kuuluvat). Suorakaiteen ylä- ja ala-sivuja vastaavia solmuja kutsutaan verkon pohjois- ja etelä-navoiksi. Esimerkiksi:

Vastaavasti tämä konstruktio voitaisiin tehdä käyttämällä neliöinnin pystysuoria janoja (tällöin vasen ja oikea sivu ovat napoja). Tämä vastaa duaaliverkkoa. Tason duaaliverkko muodostetaan siten, että solmuiksi otetaan edellisen tahkot (sivujen rajoittamat tason alueet). Nyt tehdään kuitenkin vielä yksi lisäys: edellisen navat yhdistetään kaarella, joka jakaa ulkopuolen kahteen alueeseen ja nämä ovat duaaliverkon navat.

Huomataan, että neliöiden sivujen suuruudet liittyvät verkon virtauksiin. Asetetaan verkon sivulle sitä vastaavan neliön suuruinen virtaus. Virtauksen suunta on ilmeinen, kun katsotaan kuinka sivu suhtautuu suorakaiteeseen (jossa virtaus on alaspäin). Huomataan, että tällöin nämä virtaukset totetuttavat Kirchhoffin lait: jokaiseen solmuun saapuva virtaus on yhtä suuri kuin siitä lähtevä virtaus. Perustelu: solmu vastaa neliöinnin vaakaviivaa. Viivan yläpuolella on saapuvat neliöt (eli kaaret) ja alapuolella lähtevät. Kummatkin ovat yhteensä viivan pituus. Tämä toteutuu myös pohjois- ja etelä-navoilla, kun lisätään verkkoon vielä kaari etelä-navalta pohjois-navalle. Myös jokaisen tahkon ympäri kulkevan virtauksen summa on nolla. Tämä onkin edellistä vastaava vaatimus duaaliverkolle.

Nyt voidaankin miettiä toimisiko temppu myös toiseen suuntaan. Tehdään tasoverkolle seuraavaa. Valitaan kaksi solmua navoiksi, laitetaan pohjois-navalle saapuvaksi virta ja ratkaistaan virtaukset, siten että Kirchhoffin säännöt toteutuvat. Etelä-navalta lähtee saman suuruinen virta kuin mikä saapui pohjois-navalle ja sen arvolla voidaan ratkaisu skaalata kokonaislukuvektoriksi. Tästä ratkaisusta voidaan koota suorakaiteen neliöinti.

Katsotaan pientä esimerkkiä:

Tasoverkko, sen Kirchhoffin säännöt koodaava matriisi $K$ , sen ydinvektori (eli yhtälön $Kx = 0$ ratkaisu, huom. voidaan skaalata kokonaislukuvektoriksi, sillä ratkaisu tuottaa aina rationaalilukuja) ja siitä koottu neliöinti. Huom. napoja ja ulkotahkoja ei ole otettu mukaan.

Tässä esimerkissä huomataan eräs erikoisuus: neliöintiin tuli vierekkäin kaksi saman kokoista (4-sivuista) neliötä. Ne tulivat kaarista 0-1 ja 1-2. Mikä näissä kaarissa on vikana? Jos muodostamme duaaliverkon, huomamme että se onkin multiverkko! Vihreän kolmion 012 ja violetin nelikulmion 0123 välillä on kaksi eri sivua. Tämä verkko ei ole 3-kaari-yhtenäinen, vaan solmu 1 voidaan irroittaa verkosta leikkaamalla kaksi kaarta. Kolme-kaari-yhtenäisyys onkin hyvä vaatimus verkolle, jotta saadaan ”hyviä” neliöintejä.

Jos palataan alussa mainittuun neliöinnin jaottomuuden käsitteeseen, niin nyt huomataan, että se vastaa verkon (tai sen duaalin) 1-solmu-epä-yhtenäisyyttä: jos koko suorakaiteen läpi menevää viivaa vastaava solmu poistetaan, tulee verkosta epäyhtenäinen.

Kysymyksiä

Jos tehtävää yleistetään kolmiulotteiseksi eli täytetään laatikko $[0, a]\times[0, b]\times[0,c]$ kuutioilla, kuinka muuttuu vastaavasti muodostettu verkko, kun vaihdetaan akselia, jonka suhteen se muodostetaan? Verkon solmut ovat tasojen osia, joille kuutoiden tahkot asettuvat.

Linkkejä

Ympyrät tasossa

Kysymys

Olkoon tasossa $n$ toisiaan leikkaamatonta $1$ -säteistä ympyrää. (Ympyrällä tarkoitetaan sen kaarta.) Mikä on todennäköisyys, että kun valitaan näiltä piste satunnaisesti, tästä pisteestä ei näy muita ympyröitä?

Ympyrän 2 pisteestä $A$ näkyy kaikki muut ympyrät. Pisteestä $B$ taas ei näy mikään toinen ympyrä, sillä ne ovat kaikki $B$ :hen piirretyn tangenttisuoran ”väärällä” puolella.

Kokeile:

https://Invisible-Circles–minkkilaukku2.repl.co

Ratkaisu

Vastaus on $\begin{aligned} \frac{1}{n} \end{aligned}$ .

Ja tämä siis aivan riippumatta ympyröiden sijainneista (paitsi eivät saa leikata toisiaan, kuten sovittiin).

Todistuksen runko

Ympyröiden konveksiverho $C$ . Kaariosuudet keltaisella ja janaosuudet ruskealla. Vihreät pisteet ympyröillä ovat niiden välisten tangenttijanojen päätepisteitä, ”kaikkein uloimmaiset” tangenttijanat ovat mukana $C$ :ssä.

Olkoon $C_0$ ympyröiden yhdisteen konveksiverho.
Joukon $C_0$ reuna $C$ on janoista ja ympyränkaarista koostuva derivoituva Jordanin käyrä.
Ympyrän piste $P$ kuuluu $C$ :hen täsmälleen silloin, kun se on sellainen piste, josta ei näy mikään muu ympyrä. (Pois lukien äärellisen monta pistettä, jotka ovat $C$ :n janojen päätepisteitä: janat ovat ympyröiden välisiä tangentteja, joten niiden päätepisteet leikkaavat kahta ympyrää, joten niistä on näköyhteys. Näiden joukko on kuitenkin äärellisenä nollamittainen eikä vaikuta todennäköisyyteen.)
Käyrän $C$ kokonaiskaarevuus on $\begin{aligned} \int_{a}^b \kappa (s) ds = 2\pi \end{aligned}$ , sillä kierrosluku on $1$ .
Toisaalta $\begin{aligned} \int_{a}^b \kappa (s) ds \end{aligned}$ on käyrällä $C$ olevien ympyränkaarien yhteenlaskettu mitta, sillä janaosuudella kaarevuus $\kappa = 0$ ja kaariosuudella $\kappa = \frac{1}{1} = 1$ , sillä jokaisen ympyrän säde on $1$ (ks. kaarevuudesta Wikipediassa).
Siis suotuisan osan mitta on $2\pi$ . Kaikkien ympyröiden mitta on $2\pi n$ , joten väite seuraa.

Huomioita

Yleistyy kolmiulotteiseksi: pallot 3D-avaruudessa. Gauss-Bonnet:n lause.
Jos ympyröiden säteet ovat eri suuruisia, ympyröiden paikat vaikuttavat tulokseen. Tämä johtuu siitä, yo. integraalissa kaarevuus ei ole joka ympyrällä vakio vaan tulos riippuu siitä millaisia ympyröitä ulkokaaressa on mukana minkäkin verran. Ks. esimerkkikuva alla.